Суяргулова Лилия Александровна
преподаватель кафедры естественно-математических дисциплин ОГИМ
Стохастические, или вероятностные, модели позволяют наиболее точно описать ситуации, с которыми приходится сталкиваться на практике, а значит - наиболее точные решения возникающих задач. Меняется один из важнейших принципов, заложенных в основу формирования моделей: если в детерминированных моделях дефицит ресурса на складе был полностью исключен, то в стохастических - его возникновение допускается с некоторой вероятностью. Вводится новый параметр управления: Rg - вероятность бездефицитной работы. Очевидно, что чем больше средств вложено в создание резервного запаса на складе, тем ближе его значение к единице, т.е. тем меньше вероятность возникновения дефицита - (1- R), и наоборот. Во всех трех типах стохастических моделей интенсивность потребления ресурса со склада рассматривается как величина случайная, закон распределения которой, как правило, неизвестен. (Для упрощения иногда можно считать, что нормальный закон.)
Это основное отличие такой постановки задачи управления запасами от рассмотренных ранее случаев. Учитывая то, что стохастическая постановка не меняет сути трех подходов к управлению запасами, в дальнейшем изложении обратим основное внимание на новизну математического аппарата моделей.
Пусть интенсивность потребления ресурса - величина случайная, распределенная нормально с параметрами М} и ег7, где М} - математическое ожидание (среднее значение) и ат - среднеквадратическое отклонение случайной величины.
Договором с поставщиком зафиксированы срок поставки Т и партия поставки п
причем размер партии может быть оптимизирован с помощью модели EPQ. Пусть менеджером склада установлен основной для первого способа параметр управления НТ3.
Тогда неизбежно возникает вопрос: с какой вероятностью на складе не возникнет дефицита ресурса. В уже принятых обозначениях требуется найти значения Рд. Отправной
точкой для дальнейших рассуждений является известная из теории вероятностей формула нахождения нормированного отклонения случайной величины от среднего:
UP^-(H^-M*,)/ а*7 ,
■->v Cr 13 V 1 , '
где М*т - ожидаемое потребление ресурса за время исполнения заказа (Т );
i пост
g*j - среднеквадратическое отклонение этой случайной величины;
Рп - вероятность того, что эта случайная величина примет любое значение, не превышающее НТ3;
£(Рд) - нормированное отклонение, или квантиль, величина которого для заданного значения вероятности отыскивается по таблицам интегральной или накопленной вероятности.
Из правила суммирования независимых случайных величин следует:
м*=т м-
1 пост Р
((а\)2 =Т ат2; -► <т* = а1 V Т ),
к v 1 пост 1 11 пост
а из центральной предельной теоремы теории вероятностей следует, что при достаточно большом числе членов этой суммы результирующая случайная величина всегда распределена нормально, независимо от законов, по которым были распределены слагаемые. Выполнив необходимые расчеты и получив значение квантиля, по таблице необходимо найти соответствующую ему случайную величину Р
Это вероятность того, что к моменту получения очередной партии склад не окажется пустым. В зарубежной литературе этот параметр получил название «вероятность покрытия спроса».
Для полноты картины можно определить вероятность того, что запас не будет исчерпан уже за день до поставки, или значение Р . Для получения результата выполним следующую последовательность действий:
Z(P)=fH - (Т - 1) mj / V т - 1 ->Р1
■->v L J
Этот и подобные расчеты, выполненные для других сроков, могут пригодится для оптимального уровня резервного запаса. Отметим, что возникновение дефицита на складе за день, за два. За три дня до поставки-зависимые случайные величины, поэтому Р1это часть Р0., Р2-часть Р1 и т.д. Значит для расчета НТЗ достаточно знать только Р0, и наоборот. Если полученное значение Р0, не устраивает менеджера склада, можно решить обратную задачу: по заданной им вероятности бездефицитной работы найти точку заказа. В этом случае ход решения таков:
Рп -► 1(Рп) -► Н^. = М*Т + 1(Рп) а1 = Т Мт + 1(Рп) а1 V Т
О ocr 13 1 ° (г 1 пост 1 ° (г 1 пост
Отсюда видно, что величина £(Рд) ог V Тпжт представляет собой резервный запас, обеспечивающий с вероятностью Р0 бесдифицитность работы склада. Очень важна задача нахождения его оптимального уровня. Существуют методы, основанные на том, что с ростом Р0 увеличиваются затраты на создания и содержание резервного запаса ресурса, но снижаются потери ввиду его дефицита.
Сложность практического применения этих методов состоит в том, как оценивать потери дефицита ресурса и затраты на резервирование.
Разные подходы к такой оценке формируют разные алгоритмы решения задачи оптимизации.
Библиографический список:
1. Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. - М. : Высш. шк., 2003.
2. Волков И. К. Случайные процессы / И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цветкова. - М. : Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000. - 448 с.
3. Миллер Б. М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б. М. Миллер, А. Р. Панков. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.
4. Ерофеенко В. Т. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике / В. Т. Ерофеенко, И. С. Козловкая. - М. : Едиториал УРСС, 2004. - 248 с.
5. Кляцкин В. И. Динамика стохастических систем : Курс лекций / В. И. Кляцкин. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 240 с.
6. Кузнецов Д. Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов / Д. Ф. Кузнецов. - 456 с.
7. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль. - М. : Мир, ООО «Изд-во АСТ», 2003. - 408 с.
8. Пугачев В. С. Теория стохастических систем / В. С. Пугачев, И. Н. Синицин. - М. : Логос, 2000. - 1000 с. ■